jueves, 18 de noviembre de 2010

Un video de Varianza y desviación estándar



Espero que este video les sea de utilidad para poder comprender mejor como obtener
la varianza y la desviación estandar

Varianza y Desviación estándar

La desviación sólo significa qué tan lejos de lo normal

Desviación estándar

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.
La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) se define así:
Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.
En otras palabras, sigue estos pasos:
1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado. (¿Por qué al cuadrado?)

Ejemplo

Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):
Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

Respuesta:

Media =  
600 + 470 + 170 + 430 + 300
  =  
1970
  = 394
5
5
así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico:
Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
Varianza: σ2 =  
2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2
  =  
108,520
  = 21,704
5
5
Así que la varianza es 21,704.
Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:
Desviación estándar: σ = √21,704 = 147
y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:
Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.
Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos... ¡pero que no se enteren!

*Nota: ¿por qué al cuadrado?

Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)
Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10,000 es mucho más grande que 502=2,500.
Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.

jueves, 11 de noviembre de 2010

Medidas de tendencia central en datos agrupados


Cuando los datos están agrupados en distribución de frecuencias las fórmulas varían un poco.
ClasesxfFfx
29.5-34.5321132
34.5-39.53734111
39.5-44.542812336
44.5-49.547921423
49.5-54.552728364
54.5-59.557432228
59.5-64.562335186
64.5-69.567338201
69.5-74.572240144
Total  402025
Donde:
x es el punto medio de clase
f es la frecuencia absoluta
F es la frecuencia acumulada
fx es el producto del punto medio por la frecuencia absoluta
Moda (datos agrupados)
Slide8.JPG (5190 bytes)
Donde :L = Limite inferior de la clase modal.
d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.
d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior.
C = Intervalo de clase.
Por ejemplo :
Primero se localiza la clase modal que es aquella en la que hay la mayor densidad de frecuencia por unidad de intervalo y luego aplicar la formula.
La clase es : 44.5 - 49.5
Entonces:
                      Mo = 44.5 +    1   *  5
                                           1 + 2
= 44.5 + 1.67  =  46.17
Mediana (datos agrupados)
Slide9.JPG (2491 bytes)
Donde :
n = Número total de observaciones.
L = Limite inferior de la clase que contiene la mediana.
f  = Frecuencia de la clase que contiene la mediana.
F = Frecuencia acumulada "menos de" de la clase anterior.
C = Intérvalo de clase.
La determinación de la clase que contiene la mediana se hace dividiendo n/2 y viendo en cual clase quedó este acumulado. En el ejemplo es la clase 44.5 - 49.5 ya que en ésta quedó el 20° dato.
Slide10.JPG (4712 bytes)
Media aritmética (datos agrupados)
Es la suma de los productos de la frecuencia por el punto medio divididos por la frecuencia acumulada total.
x = S fx  2025 = 50.62
          n           40

miércoles, 10 de noviembre de 2010

Medidas de Tendencia Central


Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas comomedidas de posición.1 En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
Media Aritmética
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.
Definición
Dados los n números \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}, la media aritmética se define simplemente como:
 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
 \bar{x} = \frac{ 8 + 5 + \left ( -1 \right ) }{3} = 4
Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (\overline{X}), mientras que la letra µ (mi) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.


Mediana (Estadística)
En el ámbito de la estadística, una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.

[editar]Datos sin agrupar

Sean x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n + 1) / 2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3x2 = 6x3 = 7x4 = 8x5 = 9 => El valor central es el tercero: x(5 + 1) / 2 = x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x1x2) y otros dos por encima de él (x4x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n / 2 y n / 2 + 1. Es decir: Me = (xn / 2 + xn / 2 + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1 = 3x2 = 6x3 = 7x4 = 8x5 = 9x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7 y otros dos que quedan por encima del siguiente dato x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5.


Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si  {{\frac {n} {2}}}  coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
Davicrege3.JPG
Dónde Ni y Ni − 1 son las frecuencias absolutas acomuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}ai − 1 y ai son los extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me = ai − 1 es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que ai − ai − 1 es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para Datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

xifiNi
122
224
348
4513
5821 > 19.5
6930
7333
8437
9239
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
Calificaciones123456789
Número de alumnos224589342
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas Ni. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene X(39 + 1) / 2 = X20.
  • Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

[editar]Ejemplo 2 : Cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones123456789
Número de alumnos224569442
xifiNi+w
122
224
348
4513
5619 = 19
6928
7432
8436
9238
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas NiNi. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene X(38 / 2) = X19.
  • Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.




Moda Estadística
En estadistica la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Imagenmarcos1.JPG
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que: Imagenmarcos2.JPG
Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal. Imagenmarcos3.JPG

Moda en datos agrupados
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
Moda = L_{i-1} + \left( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right)i
Donde:
Li − 1 = Límite inferior de la clase modal.
D1 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua inferior.
D2 = Frecuencia absoluta modal sobre la clase contigua superior.
i = intervalo.


Ejemplo

Encontrar la estatura modal de un grupo que se encuentra distribuido de la siguiente forma:
Entre 1.70 y 1.80 hay 8 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 10 estudiantes.
Entre 1.50 y 1.60 hay 4 estudiantes.